LA STORIA DEI DUE GEMELLI ALEX E BRAD

Siano Alex e Brad due gemelli (entrambi trentenni, situati nella stessa posizione e tutti e due fermi l’uno rispetto all’altro); Brad decide di partire con la sua astronave percorrendo una distanza d (per poi tornare indietro), muovendosi sempre alla stessa velocità v.

La distanza d è rappresentata da un segmento, il segmento AB. (Inizialmente Alex e Brad sono posizionati in prossimità del punto A e la distanza d è la misura della lunghezza da percorrere per arrivare su un pianeta lontano, lo stesso valore per entrambi)

Quanto dura il viaggio per Alex?

Alex dovrà attendere un tempo pari a 2*d/v per rivedere suo fratello. (Siamo in caso di moto rettilineo uniforme e non voglio aggiungere altro annoiando i lettori, stiamo considerando semplicemente un viaggio di andata e ritorno a velocità costante)

Il viaggio, “secondo Brad”.

Rispetto a Brad è tutto il resto a muoversi verso di lui (per Brad, anche il segmento AB che prima era fermo, adesso non lo è più). Si ricorda inoltre che, mentre per Brad tutto il resto viene incontro a velocità v, per Alex solo Brad è in movimento (sempre a velocità v) e questo è importante per arrivare alle ben note conclusioni.

Come ben indicato dalle trasformazioni di Lorentz, la distanza AB in movimento ha per Brad una lunghezza minore e misura d_1. (d_1 < d)

Se consideriamo “Brad fermo”, dapprima egli “aspetta” che il secondo estremo B del segmento AB gli venga incontro a velocità v (questo avviene quando passa un intervallo di tempo pari a d_1/v, ossia proprio quando Brad “arriva a destinazione”), in seguito Brad “aspetta” che sia anche il primo estremo A del segmento AB a venirgli incontro in modo che il viaggio termini. (e questo avviene ancora al trascorrere di un tempo pari a d_1/v, ossia proprio quando Brad torna da Alex, Alex è il gemello che è rimasto sempre fermo ad aspettare il fratello in prossimità del punto A)

In conclusione, per Brad è passato un tempo minore pari a 2*d_1/v.

(d_1 < d, 2*d_1/v < 2*d/v)

Per semplificare i calcoli, immaginiamo che la velocità v sia pari a 0.866 c (circa il 90% della velocità della luce, in questo caso la distanza AB in movimento secondo Brad misura proprio d_1 = 0.5*d; d_1 è la metà di d ed anche il tempo trascorso per Brad è la metà del tempo trascorso rispetto ad Alex); sempre per semplificare i risultati numerici possiamo inoltre scegliere il valore di d in modo che il tempo trascorso per Alex (2*d/v) sia pari a 20 anni. (in questo caso il tempo di viaggio secondo Brad è solo di 10 anni)

Quando i due fratelli gemelli si rivedranno, Alex avrà cinquant’anni e Brad ne avrà quaranta. (Per Alex il viaggio dura 20 anni, mentre per Brad il viaggio dura solo 10 anni, si ricorda inoltre che prima del viaggio entrambi i gemelli erano trentenni)

Il gemello astronauta Brad è più giovane del sedentario Alex. (FINE DELLA STORIA)

Conclusioni

Solitamente si ritiene che Alex conosca la Relatività Speciale e sappia che al suo ritorno Brad sia più giovane, stranamente (secondo me) si ritiene che anche l’orologio di Alex debba rallentare rispetto all’orologio di Brad. Quando nei miei articoli precedenti ho scritto che nel sistema di riferimento di Brad non c’è differenza temporale intendevo che non c’è ovviamente differenza temporale tra il moto apparente di Alex ed il moto di Brad nel sistema di riferimento della Terra dove le distanze sono contratte.

Ognuno dei due gemelli (non solo Brad, ma anche Alex se non conosce le Trasformazioni di Lorentz) può pensare, sbagliando, che l’altro fratello abbia la stessa età.

E, a prescindere da quello che ogni gemello pensa dell’altro, per il primo (Alex) è passato un tempo pari a 2*d/v e per il secondo (Brad) è passato un tempo minore pari a 2*d_1/v, gli intervalli di tempo sono diversi e solo Alex, se conosce le Trasformazioni di Lorentz, ha il diritto di affermare che suo fratello è più giovane (Brad non può farlo).

La soluzione è quindi quella che è stata presentata nuovamente adesso (ed approfondita in altri miei articoli precedenti nel caso di velocità di viaggio non costante, dove si è dovuto ricorrere al calcolo differenziale):

il gemello che ha viaggiato, quando ritorna nella sua posizione iniziale, è più giovane del fratello rimasto fermo ad aspettare. (e le Trasformazioni di Lorentz ci permettono di verificarlo)

Massimiliano Dell’Aguzzo

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